Plugin para registrar clientes

Olá, acho que o que você está precisando é um CRM (Customer Relationship Management)

Um plugin gratuito bastante conhecido é o https://wordpress.org/plugins/wp-crm/

Esse também parece ser bom https://wordpress.org/plugins/upi-crm-universal-crm-solution/

Não usei nenhum deles mas acredito que vai resolver seu caso.

Se quiser uma solução mais simples o que você pode fazer é criar um Custom Post Type para os clientes (usando o plugin https://br.wordpress.org/plugins/custom-post-type-ui/) e criando campos personalizados para as informações dos clientes com o Advanced Custom Fields (https://br.wordpress.org/plugins/advanced-custom-fields/)

Dessa forma você terá mais liberdade para criar os campos que precisa e controlar quem terá acesso aos dados restringindo o custom pos type para uso interno, configurando o parâmetro public para false, e o parâmetro capability_type para restringir acesso pelo tipo de usuário.