olá @notepartesmg,
provavelmente você só conseguirá isso contratando um desenvolvedor. e mesmo assim é algo a pensar com cuidado.
isso se deve principalmente porque para o formulário integrar com o banco de dados, você precisaria fornecer dados de acesso ao servidor. pois somente assim o sistema do formulário poderia abrir o banco de dados e modificá-lo. além de não ser algo com muita demanda, o que não atrai desenvolvedores, isso ainda exige muita confiança de quem usa essa solução, pois abre uma tremenda de uma brecha de segurança. é a senha para acesso ao seu servidor que estamos falando…
além disso, você deseja que os dados do formulário sejam exibidos em uma página. outro ponto que precisará de desenvolvedor. pois exigiria do sistema do formulário a capacidade de modificar o WordPress, outra coisa que tem pouca demanda, pois o comum de formulários é serem simples coletores de dados.
então se quer automatizar, vai precisar de desenvolvedores.
talvez (bem TALVEZ mesmo), algo que possa lhe ajudar seja o Zapier. inclusive há um plugin que integra o Contact Form com o Zapier no repositório oficial:
https://br.wordpress.org/plugins/cf7-to-zapier/
o Zapier só consegue fazer 2 “Actions” no WordPress, mas justamente uma delas é Criar Posts. você pode ver isso no link abaixo, rolando para a “4ª área” da página, onde tem Triggers, Searches e Actions:
https://zapier.com/apps/wordpress/integrations
então, o que você poderia tentar fazer seria integrar seu Contact Form com o Zapier e configurar para o Zapier criar uma postagem a partir do formulário do Contact Form. e aí a página de cada instituições seria um post para cada instituição. o que em si, dependendo do design de seu site, não seria nada diferente de uma página.
dependendo de seu tema e soluções que use, você pode separar uma categoria de Posts apenas para as instituições e não mostrar no seu blog, caso use um blog. eu uso Elementor e nesse plugin que gerencia temas é bem fácil fazer isso.
espero que eu tenha conseguido me fazer entender. sendo que não sei se isso realmente funcionaria. o ideal mesmo para uma solução realmente como você deseja seria ver um desenvolvedor.
abraços e boa sorte!