Estender busca na tela edit-tags.php

Esse fomulário de busca não tem nenhum hook. Para adicionar um campo ao formulário você pode usar javascript. É só usar como nome um parâmetro do WP_Query que o formulário vai enviar na URL.

Se você quiser usar uma função para tratar o resultado, você vai precisar usar o hook pre_get_posts e checar se é a página edit-tags da taxonomia que você quer.